Soluţiile parametrice ale ecuației diofantice: z³ - x³

ECUAȚIA DIOFANTICĂ BUJOR VOINEA

Model: z³ - x³ - y³ = Mzxy

Familii de soluții parametrizate (p₀ natural):

1. Familia I :
x = 2p₀² + 3p₀ + 1; y = p₀(2p₀ + 1); z = 4p₀⁴ + 8p₀³ + 9p₀² + 5p₀ + 1
M = 4p₀⁴ + 8p₀³ + 13p₀² + 9p₀ + 6

2. Familia II (Simetrică):
x = 2p₀ - 1; y = 2p₀ + 1; z = (4p₀² + 3)p₀
M = 4p₀⁴ + 7p₀² + 4

Validată algoritmic (Turbo Pascal) pentru valori naturale și întregi (p₀ = 29, p₀ = -13).

*****

ECUAȚIA DIOFANTICĂ BUJOR VOINEA Model: z³ - x³ - y³ = Mzxy

I. CAZUL GENERAL (TRIVIAL) Dacă z = x + y, atunci M = 3. Aceasta este forma de bază ce derivă din identitatea cuburilor.

II. PRIMA FAMILIE DE SOLUȚII Parametrizare în funcție de p₀ (număr natural):

· x = 2p₀² + 3p₀ + 1

· y = p₀(2p₀ + 1)

· z = 4p₀⁴ + 8p₀³ + 9p₀² + 5p₀ + 1

· M = 4p₀⁴ + 8p₀³ + 13p₀² + 9p₀ + 6

Raporturi auxiliare:

· (z - y) / x = 2p₀² + p₀ + 1

· (z - x) / y = 2p₀² + 3p₀ + 2

· (x + y) / z = 1 / (p₀² + p₀ + 1)

III. A DOUA FAMILIE DE SOLUȚII Parametrizare simetrică:

· x = 2p₀ - 1

· y = 2p₀ + 1

· z = (4p₀² + 3)p₀

· M = 4p₀⁴ + 7p₀² + 4

Raporturi auxiliare:

· (z - y) / x = 2p₀² + p₀ + 1

· (z - x) / y = 2p₀² - p₀ + 1

· (x + y) / z = 4 / (4p₀² + 3)

Notă tehnică: În toate cazurile unde p₀ este număr natural, parametrul M este diferit de zero (M ≠ 0).

Bujor Voinea